Question

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）若a=0，F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）的极值点及相应的极值；
（Ⅱ）若对于任意x₂＞0，存在x₁满足x₁＜x₂且g（x₁）=f（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数F（x）的极值点及相应的极值；
（Ⅱ）问题转化为(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2＜0，在（0，+∞）上恒成立，再分类讨论，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，F′（x）=ln（x+1），x∈（-1，0）F′（x）＜0，F（x）为减函数；x∈（0，+∞），F′（x）＞0，F（x）为增函数，
所以F（x）只有一个极小值点x=0，极小值为0．…（4分）
（Ⅱ） 设G(x)=ln(x+1)-f(x2)=ln(x+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]
依题意即求 G（x）在（-1，x₂）上存在零点时a的取值范围．
又当x→-1时，G（x）→-∞，且G（x）在定义域内单调递增，
所以只需要G（x₂）＞0在（0，+∞）上恒成立．
即ln(x2+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]＞0，在（0，+∞）上恒成立．
即(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2＜0，在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
1°若a=0，显然不成立，因为由第一问知F（x）=（x+1）ln（x+1）-x在（0，+∞）为增函数，
故F（x）＞F（0）=0；
2°∵x+1＞0，即ln(x+1)-

ax2+x

x+1

＜0在（0，+∞）恒成立，
不妨设h(x)=ln(x+1)-

ax2+x

x+1

，x∈（0，+∞）h′(x)=

x(-ax+1-2a)

(x+1)2

，x∈(0，+∞)，h′(x)=

x(-ax+1-2a)

(x+1)2

=0，x1=0，x2=

1-2a

a

，…（9分）
若a＜0，则x2=

1-2a

a

＜0，若x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），
若0＜a＜

1

2

，若x∈(0，

1-2a

a

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），
若a≥

1

2

，若x∈（0，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（0）=0（符合题意），
综上所述，若x＞0时，h（x）＜0f（x）＜0恒成立，
则a≥

1

2

．…（12分）

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想