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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，AC∩BD=H．沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED．

    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（提示：设OH=x）
    （ⅰ）求四棱锥P-BDEF的体积；
    （ⅱ）若点Q在线段AP上，试探究：直线OQ与平面E所成角是否一定大于或等于45°？并说明你的理由．
    考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
    专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
    分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则
    PB
    =（2
    		3
    -x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
    （ⅱ）确定
    OQ
    的坐标，求出平面PBD的法向量
    n
    =（1，0，1），利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
    解答： （Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
    ∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，…（1分）
    ∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
    ∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，
    且PO?平面PEF，
    ∴PO⊥平面ABFED，…（2分）
    ∵BD?平面ABFED，
    ∴PO⊥BD．…（3分）
    ∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
    （Ⅱ）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
    （ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
    故BD=4，HB=2，HC=2
    		3
    ．
    又设PO=x，则OH=2
    		3
    -x，OA=4
    		3
    -x．
    O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
    		3
    -x，2，0），
    故
    PB
    =（2
    		3
    -x，2，-x），（6分）
    ∴|
    PB
    |=
    		2(x-
    		3
    )2+10
    ，
    ∴当x=
    		3
    时，|PB|min=
    		10
    ．
    此时PO=
    		3
    ，OH=
    		3
    （7分）
    由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，
    ∴V=
    1
    3
    （
    		3
    4
    ×42    -
    		3
    4
    ×22    ）×
    		3
    =3．（8分）
    （ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
    		3
    ，则A（3
    		3
    ，0，0），B（
    		3
    ，2，0），D（
    		3
    ，-2，0），P（0，0，
    		3
    ）．
    ∴
    AQ
    =（a-3
    		3
    ，0，c），
    QP
    =（-a，0，
    		3
    -c），（9分）
    设
    AQ
    =λ
    QP
    （λ＞0），
    则Q（
    3
    		3
    λ+1
    ，0，
    		3
    λ
    λ+1
    ），
    ∴
    OQ
    =（
    3
    		3
    λ+1
    ，0，
    		3
    λ
    λ+1
    ），（10分）
    设平面PBD的法向量为
    n
    =（x，y，z），则
    		3
    x+2y-
    		3
    z=0
    -4y=0
    ，
    取x=1，解得：y=0，z=1，
    ∴
    n
    =（1，0，1）．（11分）
    设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
    ∴sinθ=|cos＜
    OQ
    ，
    n
    ＞|=
    1
    		2
    ×
    		1+
    6λ
    9+λ2
    ．（12分）
    又∵λ＞0∴sinθ＞
    		2
    2
    ．（13分）
    ∵θ∈[0，
    π
    2
    ]，∴θ＞
    π
    4
    ．
    因此直线OQ与平面PBD所成角大于
    π
    4
    ，即结论成立． （14分）
    点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
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    3
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    PM
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    ，
    AC
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    PA
    ．
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    e1
    ，
    e2
    是两个不共线的向量，
    AB
    =2
    e1
    +k
    e2
    ，
    CB
    =
    e1
    +3
    e2
    ，
    CD
    =2
    e1
    -
    e2
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    ．

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