Question

已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）当x∈[-

π

8

，

π

8

]时，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式，化为一个角的正弦函数，由最小正周期公式求解；
（Ⅱ）由x的范围求出4x+

π

4

的范围，再由正弦函数得性质求出f（x）的最值，再求出函数f（x）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x=1+2sin2xcos2x-（1-cos4x）
=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)，
∴T=

2π

4

=

π

2

，
则f（x）的最小正周期是

π

2

，
（II）由（I）得f（x）=

2

sin(4x+

π

4

)，
∵x∈[-

π

8

，

π

8

]，∴4x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
当4x+

π

4

=-

π

4

时，此时x=-

π

8

，f(x)min=

2

×(-

2

2

)=-1，
当4x+

π

4

=

π

2

时，此时x=

π

16

，f(x)m，ax=

2

，
则f（x）的值域是[-1，

2

]．

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和与差的正弦公式，以及正弦函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．