Question

如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连接BM、CM、DM．求证：BM、CM、DM两两垂直．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：连接OB，OC，OD，则AO分别垂直于OB，OC，OD．利用勾股定理得△MBC为直角三角形，且∠CMB=90°，同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，由此能证明BM，CM，DM两两垂直．

解答： 证明：∵AO是四面体ABCD的高，∴AO垂直于面ABCD．
连接OB，OC，OD，则AO分别垂直于OB，OC，OD．
设正四面体ABCD的边长为a，
则AB=BC=CD=DA=a，OB=OC=OD=

3

3

a，
OA²=AD²-OD²，
OA=

6 a

3

，OM=

6 a

6

，
BM²=OM²+OB²，BM=CM=DM=

2 a

2

，
在三角形MBC中，MB²+MC²=BC²，符合勾股定理，
∴△MBC为直角三角形，且∠CMB=90°，
同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，
∴BM，CM，DM两两垂直．

点评：本题考查三条直线两两垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．