Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，AC垂直准线于C，BD垂直准线于D，又O为原点．
（1）证明：CF⊥DF      
（2）A、O、D三点共线    
（3）

1

AF

+

1

BF

=

2

p

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先根据抛物线的定义，证明三角形ACF是等腰三角形；然后证明CF平分∠OFA，同理DF平分∠OFB，据此判断出CF⊥DF即可；
（2）首先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程，代入到抛物线方程中，消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积；然后根据BD∥x轴与点D在准线上可求得D的坐标，进而表示出直线DO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，据此证明即可；
（3）首先设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，根据韦达定理可求得x₁x₂的值；然后根据抛物线定义可知，|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，代入证明结论即可．

解答： 解：（1）如图，由抛物线的定义可知
AC=AF，三角形ACF是等腰三角形；
因为AC∥OF，
所以CF平分∠OFA，
同理DF平分∠OFB，
所以∠CFD=90°，
即CF⊥DF；      
（2）因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
所以设经过点F的直线的方程为x=my+

p

2

，
把它代入抛物线方程，可得y²-2pmy-p²=0；
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以y₁，y₂是该方程的两个根，
则y₁y₂=-p²；
因为BD∥x轴，且点D在准线x=-

p

2

上，
所以点D的坐标为（-

p

2

，y₂），
故直线DO的斜率为

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

，
即k也是直线OA的斜率，
所以直线AD经过原点O，
即A、O、D三点共线； 
（3）设经过点F的直线的方程为y=k（x-

p

2

），
把它代入抛物线方程，可得4k²x²-4p（k²+2）x+p²=0；
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以x₁，x₂是该方程的两个根，
则x₁+x₂=

p(k2+2)

k2

，x₁x₂=

p2

4k2

，
根据抛物线性质可知，
|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
所以

1

AF

+

1

BF

=

x1+x2+p

(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )

=

p(k2+2) k2 +p

p2 4k2 + p 2 • p(k2+2) k2 + p2 4

=2
因此

1

AF

+

1

BF

=

2

p

成立．

点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质的运用，考查了直线的方程和性质，属于中档题．