Question

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集为R．
命题q：方程

x2

a2+a

+

y2

a2-1

=1表示双曲线．
若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,一元二次不等式的解法,抛物线的标准方程

专题：简易逻辑

分析：利用一元二次不等式的解集与判别式的关系可化简P，利用双曲线的定义可化简命题q．由于“p∨q”真，“p∧q”假，所以p与q恰有一个真，恰有一个假．即可得出．

解答： 解：p真时，△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

，
∴p假时，-1≤a≤

1

3

．
q真时，

(a2+a)(a2-1)＜0 a2+a≠0 a2-1≠0

解得  0＜a＜1．
∴q假时，

a≤0或a≥1 a2+a≠0 a2-1≠0

即 

a＜-1或-1＜a＜0或a＞1

．
由于“p∨q”真，“p∧q”假，所以p与q恰有一个真，恰有一个假．
P真q假时，

a＜-1或a＞ 1 3 a＜-1或-1＜a＜0或a＞1

∴a＜-1或a＞1．
P假q真时，

-1≤a≤ 1 3 0＜a＜1

，∴0＜a≤

1

3

．
综合以上得a的范围是：a＜-1或0＜a≤

1

3

或a＞1．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系可、双曲线的定义、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．