Question

求棱长为

2

a的正四面体的外接球半径和内切球半径．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：如图，ABCD是棱长为

2

a的正四面体 作AO₁⊥平面BCD于O₁，则O₁为△BCD的中心，求出AO₁=

2 3

3

a．在平面ABO₁内作AB的垂直平分线交AO₁于O，求出AO=

3

2

a．由OO₁=AO₁-AO=

3

6

a．正四面体的外接球半径R=AO，内切球半径r=OO₁．

解答： 解：如图，ABCD是棱长为

2

a的正四面体作AO₁⊥平面BCD于O₁，则O₁为△BCD的中心，
则BO₁=

2

3

×

3

2

×

2

a=

6

3

a，
∴AO₁=

( 2 a)2-( 3 3 × 2 a)2

=

2 3

3

a．
在平面ABO₁内作AB的垂直平分线交AO₁于O，
则AO=BO=CO=DO，
且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距离相等
∴O是△ACD的内切球，外接球球心
∵

AO

AB

=

AE

AO1

，∴AO=

2 a 2 × 2 a

6 3 × 2 a

=

6

4

×

2

a=

3

2

a．
∴OO₁=AO₁-AO=

2 3

3

a-

3

2

a=

3

6

a．
∴正四面体的外接球半径R=AO=

3

2

a，
内切球半径r=OO₁=

3

6

a．

点评：本题考查正四面体的外接球半径和内切球半径的求法，是中档题，解题时要注意合理地化空间问题为平面问题．