Question

如果三棱锥A-BCD的底面BCD是正三角形，顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱AB与CD）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为2

2

，则该棱锥外接球的表面积等于12π．
⑤若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N．则△BMN周长的最小值等于2

3

．
以上结论正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：根据正三棱锥的定义，对每个命题进行判断，即可得出结论．

解答： 解：①正三棱锥所有侧棱长都相等，底边长都相等，故不正确；
②正三棱锥顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，故对棱（如棱AB与CD）垂直，故不正确；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和等于此正四面体的高，为定值，故正确；
④若正三棱锥所有棱长均为2

2

，则该棱锥外接球半径为

3

，表面积等于12π，正确．
⑤若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N．则△BMN周长的最小值等于

22+22-2×2×2×(- 1 2 )

=2

3

，故正确．
故答案为：③④⑤．

点评：本题综合考查空间线面关系，类比、转化思想，较难题．