Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10．设A（5，0），过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线SQ过x轴上一定点B；
（3）若过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意得：2c=2，

2a2

c

=10，求出a，c，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

AP

=t

AQ

，证明

SB

=t

BQ

，即可得出结论．
（3）设过点A的直线方程为：y=k（x-5），代入椭圆方程得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0．依题意得：△=（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0，由此能求出过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程．

解答： （1）解：依题意得：2c=2，

2a2

c

=10，
∴c=1，a=

5

，
∴b²=4，
∴椭圆的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

AP

=t

AQ

，
∴x₁=-2t+3，x₂=

3t-2

t

∵

SB

=（1-x₁，y₁），

BQ

=（x₂-1，y₂），
设B（x，0），则x=

x1+tx2

1+t

=1，故直线SQ过x轴上一定点B（1，0）．
（3）解：设过点A的直线方程为：y=k（x-5），
代入椭圆方程

x2

5

+

y2

4

=1，
得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0（*）
依题意得：△=0，
即（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0
得：k=±

5

5

，
且方程的根为x=1，
∴D（1，±

4 5

5

），
当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E，
直线DE的方程是：y-

4 5

5

=

5

（x-1），
∴E（

1

5

，0）．
所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：（x-

3

5

）²+（y-

2 5

5

）²=

24

25

同理可得：当点D位于x轴下方时，
圆的方程为：（x-

3

5

）²+（y+

2 5

5

）²=

24

25

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．