Question

在四边形ABCD中，

AB

=

DC

=（1，1），

1

| BA |

BA

+

1

| BC |

BC

=

3

| BD |

BD

，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A、

  3

• B、2

  3

• C、

  6

• D、

  6

  2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据已知条件可判定四边形ABCD是菱形，并且边长为

2

，对等式

1

| BA|

BA

+

1

| BC |

BC

=

3

| BD |

BD

两边平方可得cos∠ABC，从而求出sin∠ABC，根据三角形的面积公式：S=

1

2

absinC即可求出四边形ABCD的面积．

解答： 解：∵

AB

=

DC

=(1，1)
∴四边形ABCD是?；
∵

1

| BA |

BA

，

1

| BC |

BC

，

1

| BD |

BD

都是单位向量；
∴四边形ABCD是菱形，边长为

2

；
∴(

1

| BA |

BA

+

1

| BC |

BC

)2=(

3

| BD |

BD

)2；
整理得：

BA • BC

| BA || BC |

=

1

2

；
∴cos∠ABC=

1

2

；
∴sin∠ABC=

3

2

；
S四边形ABCD=

2

×

2

×

3

2

=

3

．
故选：A．

点评：求解本题的关键是判断出四边形ABCD是菱形，本题考查知识点是，根据向量的坐标求长度，菱形的概念，单位向量，向量加法的平行四边形法则，三角形的面积公式．