Question

在△ABC中，∠B=60°，O为△ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且

OP

=x

OA

+y

OC

（x，y∈R），则x+y的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：看能否建立关于x，y变量之间的式子，设外接圆的半径为r，则|

OP

|=|x

OA

+y

OC

|=r，对等式两边平方得：|x

OA

+y

OC

|2=r2，整理便会得到x²-xy+y²=1，所以（x+y）²=3xy+1，因为P为劣弧上的点，所以x，y∈[0，1]，根据x+y≥2

xy

，所以xy≤

1

4

(x+y)2从而求出x+y的范围．

解答： 解：∠AOC=120°，设|OA|=|OC|=|OP|=r；

∵

OP

=x

OA

+y

OC

；
∴|

OP

|=|x

OA

+y

OC

|=r；
∴|x

OA

+y

OC

|2=x2r2+2xyr2(-

1

2

)+y2r²=r²；
∴（x+y）²=3xy+1；
∵P为劣弧AC上一动点；
∴0≤x≤1，0≤y≤1；
∴x+y≥2

xy

；
∴xy≤

1

4

(x+y)2
∴1≤(x+y)2≤

3

4

(x+y)2+1
∴1≤（x+y）²≤4
∴1≤x+y≤2．
∴x+y的取值范围为[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评：求解本题的关键便是根据|

OP

|=r，对等式|x

OA

+y

OC

|=r两边进行平方．考查圆周角与圆心角的关系，向量的数量积，基本不等式x+y≥2

xy

(x，y≥0)．