Question

方程2x²+x³=2的解的个数为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：构造函数，求出函数的极值，判断极值的符号，即可得到结论．

解答： 解：由程2x²+x³=2得程2x²+x³-2=0，
设f（x）=2x²+x³-2，
则函数的导数f′（x）=3x²+4x=x（3x+4），
由f′（x）＞0得x＞0或x＜-

4

3

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-

4

3

＜x＜0，此时函数单调递减，
则当x=0时，函数取得极小值f（0）=-2＜0，
当x=-

4

3

，函数取得极大值f（-

4

3

）=

32

27

-2＜0，
则函数f（x）的零点个数为1个，
故方程2x²+x³=2的解的个数为1个，
故答案为：1

点评：本题主要考查方程解的个数的判断，根据方程和函数的关系，构造函数，利用函数极值和导数之间的关系，求出函数的极值是解决本题的关键．