Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中p为常数．若实数p使得数列{a_n}为等差数列或等比数列，数列{a_n}的前n项和为S_n，则满足S_n＞2014的最小正整数n的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，可求得a₂=2p+2，a₃=2p²+2p+4；分①若数列{a_n}为等差数列，②若数列{a_n}为等比数列讨论，可求得p=1，继而可得a_n=2ⁿ，利等比数列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：∵a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂=pa₁+2=2p+2，
a₃=pa₂+2²=p（2p+2）+4=2p²+2p+4；
①若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃，即2（2p+2）=2+2p²+2p+4=2p²+2p+6，
整理得：p²-p+1=(p-

1

2

)2+

3

4

=0，此方程无实数解，故数列{a_n}不可能为等差数列；
②若数列{a_n}为等比数列，则a22=a₁•a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p+4），
解得：p=1．
∴a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a_n=a_n-1+2^n-1=a_n-2+2^n-2+2^n-1=…=2+2¹+2²+…+2^n-1=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2¹+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∵S₁₀=2¹¹-2=2048-2=2046＞2014，S₉=2¹⁰-2=1024-2=1022＜2014，
∴满足S_n＞2014的最小正整数n的值为10，
故答案为：10．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系与等比关系的确定，考查等比数列的求和公式，求得p=1是关键，考查运算求解能力，属于难题．