Question

已知函数f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x+

a

x

在（1，2]上既有最大值，又有最小值，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：f′（x）=-3x²+a，由函数f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上递减，得a≤3；g′(x)=2-

a

x2

，当a≤1时，g（x）有最大值，无最小值，不合要求当1＜a≤3时，g（x）_min=g（

a

），g（x）_max=g（2）．符合要求，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=-x³+ax，∴f′（x）=-3x²+a，
∵函数f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上递减，
∴a≤3．
∵g（x）=2x+

a

x

，∴g′(x)=2-

a

x2

，
当a≤1时，g'（x）在（1，2]上恒大于零，
此时g（x）有最大值，无最小值，不合要求
当1＜a≤3时，由g'（x）=0，得x=

a

，
g（x）_min=g（

a

），g（x）_max=g（2）．符合要求，
综上1＜a≤3．即a的取值范围是（1，3]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．