Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=log₂|a_n|，（n∈N₊），设T_n为数列{

bn+1

|an|

}的前n项和，求证：T_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，再由通项公式即可得到；
（2）化简b_n，及

bn+1

|an|

，运用数列的求和方法：错位相减法，求出T_n，整理即可得证．

解答： （1）解：设数列{a_n}的公比为q，
∵且S₃，S₂，S₄成等差数列，
∴S₃+S₄=2S₂，
即（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（a₁+a₂）
∴2a₃+a₄=0，q=

a4

a3

=-2，
∴a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1；
（2）证明：|a_n|=2^n-1，bn=log22n-1=n-1，
∴

bn+1

|an|

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

---------①

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

------②
①-②得，

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

∴Tn=4-(

4

2n

+

2n

2n

)，
∵

4

2n

+

2n

2n

＞0，
∴T_n＜4．

点评：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查基本的运算能力，是一道综合题．