Question

20.(乙)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，

SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

(Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

20.(乙)本小题主要考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

解：

(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

M_底面＝(BC＋AD)·AB＝1＝.              

∴四棱锥S-ABCD的体积是

V＝×SA×M_底面

   ＝×1×

  ＝.                                               

 

(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.

∵AD∥BC，BC＝2AD.

∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB.

∵SA⊥面ABCD.得面SEB⊥面EBC，EB是交线.

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，

∴CS⊥SE.

所以∠BSC是所求二面角的平面角.                       

∵SB＝＝，BC＝1，BC⊥SB.

∴tanBSC＝＝.

即所求二面角的正切值为.