Question

如图，曲线y²=x（y≥0）上的点P_i与x轴的正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…△Q_n-1P_nQ_n…设正三角形Q_n-1P_nQ_n的边长为a_n，n∈N﹡（记Q为O），Q_n（S_n，0）．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设出P₁关于a₁的坐标，代入曲线方程，得到关于a₁的方程，求解即可．
（2）根据题意求得P_n+1的坐标，并代入曲线方程中，得到S_n=a_n+1²-a_n+1，分两种情况讨论：①当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，解得a_n+1-a_n=；②当n=1时，解得a₂-a₁=，即为a_n+1-a_n=，故得到数列的通项公式为a_n=．
解答：解：（1）由条件可得△P₁0Q₁为正三角形，且边长为a₁，所以，P₁在曲线上，代入y²=x（y≥0）
得，∵a₁＞0，∴a₁=；
（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
∴根据题意容易求得点
代入曲线y²=x（y≥0）并整理得S_n=，
于是当n≥2，n∈N^*时，
即
∵a_n+1＞a_n＞0，∴a_n+1-a_n=
又当n=1时，S₁=，∴
∴a₂-a₁=，
故a_n+1-a_n=
综上所述：数列{a_n}是首项为．公差为的等差数列，即a_n=n；
点评：此题比较新颖，是一道关于数列和函数的综合题，主要考查求解等差数列通项公式的方法，计算量比较大，要细心，平时多总结方法．