【题目】已知函数f(x)=.(a>0)
(1)若a=1,证明:y=f(x)在R上单调递减;
(2)当a>1时,讨论f(x)零点的个数.
【答案】见解析
【解析】(1)证明:当x≥1时,f′(x)=-1≤0,f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0;
当x<1时,f′(x)=ex-1-1<0,f(x)在(-∞,1)上单调递减,且此时f(x)>0.
所以y=f(x)在R上单调递减.
(2)若x≥a,则f′(x)=-a≤
-a<0(a>1),
所以此时f(x)单调递减,令g(a)=f(a)=ln a-a2+1,
则g′(a)=-2a<0,所以f(a)=g(a)<g(1)=0,
即f(x)≤f(a)<0,故f(x)在[a,+∞)上无零点.
当x<a时,f′(x)=ex-1+a-2,
①当a>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
又f(0)=e-1>0,f<0,所以此时f(x)在
上有一个零点.
②当a=2时,f(x)=ex-1,此时f(x)在(-∞,2)上没有零点.
③当1<a<2时,令f′(x0)=0,解得x0=ln(2-a)+1<1<a,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,a)上单调递增.
f(x0)=e+(a-2)x0=e
(1-x0)>0,
所以此时f(x)没有零点.
综上,当1<a≤2时,f(x)没有零点;当a>2时,f(x)有一个零点.
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【题目】(本小题满分12分)如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点在
上,点
在
上,求
的最小值及对应的点
的直角坐标.
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【题目】已知函数.现提供
的大致图像的8个选项:
(A)(B)
(C)
(D)
(E)(F)
(G)
(H)
(Ⅰ)请你作出选择,你选的是( );
(Ⅱ)对于函数图像的判断,往往只需了解函数的基本性质.为了验证你的选择的正确性,请你解决下列问题:
①的定义域是 ;
②就奇偶性而言, 是 ;
③当时,
的符号为正还是负?并证明你的结论.
(解决了上述三个问题,你要调整你的选项,还来得及.)
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【题目】已知二次函数的图象经过点
,对任意实数
满足
,且函数
的最小值为2.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数,其中
,求函数
在区间
上的最小值
;
(3)若在区间上,函数
的图象恒在函数
的图象上方,试确定实数
的取值范围.
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【题目】某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查,得到如下的列联表:
专业A | 专业B | 总计 | |
女生 | 12 | 4 | 16 |
男生 | 38 | 46 | 84 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
(1)从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动,其中女生甲被选到的概率是多少?
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢?
注:K2=
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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