Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的最小值为，求的值；

（2）证明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意得，的最小值问题，需要借助于导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量；（2）借助第一问，将问题转化成最常见的形式：.

试题解析：（1）的定义域为，且.若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意，若，则当时， ;当时， .故在上单调递减，在上单调递增.于是当时， 取得最小值.由已知得, 解得.综上， .

（2）①下面先证当时， .因为, 所以只要证.由（1）可知, 于是只要证，即只要证, 令，则,当时， , 所以在单调递增，所以当时， ，即，故当时，不等式成立 .② 当时，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因为, 所以,所以

,综上，不等式

成立.