Question

【题目】已知函数f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数．

(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线；

(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)因为f(x)＝(－x2＋x－1)ex，

所以f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex.

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为

k＝f′(1)＝－2e.

又f(1)＝－e，

所以所求切线方程为y＋e＝－2e(x－1)，即2ex＋y－e＝0.

(2)因为f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex，

当x<－1或x>0时，f′(x)<0；

当－1<x<0时，f′(x)>0，

所以f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

所以f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.

令g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.

当x<－1或x>0时，g′(x)>0；

当－1<x<0时，g′(x)<0，

所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

故g(x)在x＝－1处取得极大值g(－1)＝＋m，在x＝0处取得极小值g(0)＝m.

因为方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，

即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点，

所以，即.

所以－－<m<－1.