Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断并证明函数在上单调性。

（2）当时，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）单调递增（2）

【解析】试题分析：（1）设，比较和0的大小，从而得在上的单调性

（2）首先时可证明函数为奇函数，且在上单调递增，从而转化为在上有解，进而转化为函数与函数有交点，所以，即

试题解析：（1）当时，函数在上单调递增，证明如下：

设，则

因为，所以， ，又

所以即

所以，函数在上单调递增

（2）当时， ，定义域为

所以，函数为奇函数

因为

所以

由（1）知， 时，函数在上单调递增

所以在上有解，

所以函数与函数有交点

所以，即

所以实数的取值范围为

点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.