Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式前三项中的x的系数成等差数列．
（1）求展开式中所有的x的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由于展开式中的前三项系数为：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，这三数成等差数列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，从而可求得n，再利用通项求有理项．
（2）令x的幂指数为整数，求得r的值，展开式中的有理项．
（3）设第k项的系数最大，则

Tk的系数≥Tk+1的系数 Tk的系数≥Tk-1的系数

，解得k的范围，再结合通项公式以及k为整数，求得展开式中系数最大的项．

解答：解：解：（1）∵(

x

+

1

2• 4 x

)n展开式中的前三项系数为：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，
这三数成等差数列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），∴n=8；
∵展开式的通项公式T_r+1=

C

r 8

•(x

1

2

)8-r•(

1

2

)r•(x-

1

4

)r=

C

r 8

•(

1

2

)r•x

16-3r

4

，
∴要使T_r+1项为有理项，则

16-3r

4

∈z，
∴r=0，4，8．
∴有理项为：T₁=x⁴，T₅=

C

4 8

•(

1

2

)4•x=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
（2）设第k项的系数最大，则有

C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k 8 •( 1 2 )k C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k-2 8 •( 1 2 )k-2

，解得 3≤k≤4，
故系数最大的项为第三项T₃=7x

5

2

 和 第四项T₄=7x

7

4

．

点评：本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质，考查组合数的计算公式，二项展开式的通项公式，关键是掌握二项展开式的通项公式．