Question

设f(x)=x²+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.

(1)求证:AB;
(2)如果A={－1，3}，求B。

Answer 1

(1)证明略(2) B={－，－1，，3}

(1)证明: 设x₀是集合A中的任一元素，即有x₀∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x₀=f(x₀).
即有f［f(x₀)］=f(x₀)=x₀,∴x₀∈B,故AB.
(2)证明:∵A={－1,3}={x|x²+px+q=x},
∴方程x²+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x²－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,
也即(x²－x－3)²－(x²－x－3)－3=x　(^*)　的根.
将方程(^*)变形，得(x²－x－3)²－x²=0
解得x=1,3,,－.
故B={－，－1，，3}.