Question

（2013•唐山一模）已知椭圆C₁：

x2

4

+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：y=kx+m与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求r的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程和圆的方程，由直线和椭圆及直线和圆都有唯一公共点，利用判别式等于0得到k与r的关系k²=

r2-1

4-r2

，由k²≥0求解r的取值范围；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B两点的横坐标，写出AB两点间的距离，利用k，m，r之间的关系把两点间的距离转化为含有r的函数式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此时圆 C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
由于l与C₁有唯一的公共点A，故△₁=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
从而m²=1+4k² ①
由

x2+y2=r2 y=kx+m

，得（1+k²）x²+2kmx+m²-r²=0．
由于l与C₂有唯一的公共点B，故△₂=4k²m²-4（1+k²）（m²-r²）=0，
从而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=

r2-1

4-r2

．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范围是[1，2）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=-

4km

1+4k2

=-

4k

m

，x₂=-

km

1+k2

=-

kr2

m

．
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）•

k2(4-r2)2

m2

=

1+k2

m2

•k²•（4-r²）²
=

1

r2

•

r2-1

4-r2

•（4-r²）²=

(r2-1)(4-r2)

r2

，
所以|AB|²=5-（r²+

4

r2

）（1≤r＜2）．
因为r²+

4

r2

≥2×2=4，当且仅当r=

2

时取等号，
所以当r=

2

时，|AB|取最大值1，此时C₂的方程为x²+y²=2．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法及整体带代换能力，训练了学生的计算能力，考查了利用基本不等式求最值，属难题．