Question

(本小题满分12分)已知二次函数的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数的图象与直线的两个交点间的距离为8，
（1）求函数的表达式；
（2）证明：当时，关于的方程有三个实数解.

Answer 1

（1）由已知，设，由，得，∴……2分
设，它的图象与直线的交点分别为
由，得
∴故……4分
（2）证明：由，得
即 ……5分
在同一坐标系内作出和的大致图象如图，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，的图象是以为顶点，开口向下的抛物线.

∴与的图象在第三象限有一个交点，
即有一个负数解.…… 8分
又∵
当时，
∴当时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.
∴与的图象在第一象限有两个交点，
即有两个正数解.
∴方程有三个实数解.…… 12分

略