Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析．（2）

【解析】

（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）因为，所以平面，

因为平面，所以．

因为，点为中点，所以．

因为，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，则即

取，则，，所以，

设平面的一个法向量，则即

取，则，，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．