Question

已知a＞0，函数f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，当x∈[0，

π

2

]时，-2≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x+

π

2

)，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b的最值，利用-2≤f（x）≤1即可求得常数a，b的值；
（2）由（1）知，f（x）=-2sin（2x+

π

6

），于是g（x）=f（x+

π

2

）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的单调性即可求得答案．

解答：解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，又a＞0，
∴-2a≤-2asin（2x+

π

6

）≤a，b≤-2asin（2x+

π

6

）+2a+b≤3a+b，
∵-2≤f（x）≤1，
∴b=-2，3a+b=1，解得a=1．
∴a=1，b=-2．
∴f（x）=-2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵g（x）=f（x+

π

2

）=-2sin（2x+π+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

），
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得：
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z．
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．

点评：本题考查正弦函数的单调性，考查正弦函数的定义域与值域，考查方程思想与运算能力，属于中档题．