Question

12．函数y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为8．

Answer 1

分析 最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
知A（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答 解：由已知定点A坐标为（-2，-1），由点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又m＞0，n＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=$\frac{2m+n}{m}$+$\frac{4m+2n}{n}$=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$+2≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
当且仅当n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{1}{4}$时取等号．
故答案为：8．

点评 均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．