Question

（2012•河北模拟）已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两正根，且q＜

1

a

，证明：当x∈（0，P）时，f（x）＜P-a．

Answer 1

分析：（I）依题意，f（x）=g（x），函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则△＞0，求出a的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出AB以及点O到直线g（x）=x-a的距离，从而求出三角形的面积关于a的函数，根据a的范围求出面积的最值；
（II）由f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），以及g（x）=x-a，表示出f（x），代入f（x）-（p-a）中，因式分解后，判定其积小于0，从而得到f（x）小于p-a，得证．

解答：解：（I）依题意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，x₁•x₂=1＞0，x₁+x₂=-

a-1

a

．
设点O到直线g（x）=x-a的距离为d，则d=

|-a|

2

，
∴S_△OAB=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵∴-1＜a＜

1

3

且a≠0，∴当a=-

1

3

时，S_△OAB有最大值

3

3

；
（II）证明：由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）
∴f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
当x∈（0，p）时，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a．

点评：本题考查了三角形面积的计算，以及利用二次函数研究函数的最值，考查不等式的证明．根据题意设出f（x）-g（x）是解本题的关键，证明不等式的方法是灵活运用“作差法”，属于中档题．