Question

在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为

n+1

4n-2

．

Answer 1

分析：从（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有C_2n+1³，每种取法等可能出现，属于古典概率，正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部，若第一个点取的就是点2n+1，对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1，第二个点取的是点2…第二个点取的是m，第二个点取的是点n，再考虑第三个点的所有取法，利用古典概率的公式可求．

解答：解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点2n+1，顺时针方向的下一个点为点1，则以时钟12点和6点连线为轴，左右两边各有n个点．
多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：
假设第一个点取的就是点2n+1，则剩下的两点必然在轴线的一左一右．
对于第二个点取的是点1，
对于第二个点取的是点2，第三个点能取点n+1、点n+2，有2种
…
对于第二个点取的是点m，第三个点能取点n+1、点n+2…点n+m，有m种
…
对于第二个点取的是点n，第三个点能取点n+1，点n+2…点2n，有n种
一共1+2+…n=

1

2

（n+1）n种
如果第二个点取的是点n+1到点2n，可视为上述情况中的第三个点．
所以a=

1

2

（n+1）n×

1

3

（2n+1）=

1

6

（2n+1）（n+1）n
一共可构成三角形个数b=

1

3

（2n+1）n（2n-1）
∴P=

a

b

=

1 6 n(n+1)(2n+1)

1 3 n(2n-1)(2n+1)

=

n+1

4n-2

故答案为：

n+1

4n-2

点评：本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是求解基本事件的个数时要合理的分类，灵活利用组合数，本题有一定的难度．