Question

15．如图所示，曲线C由部分椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁所在椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）在抛物线的方程中，令y=0，解得b=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a；
（2）求得椭圆的方程，令直线的方程为x=my+1，代入椭圆方程和抛物线的方程，求得P，Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得m，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）在C₂的方程中令y=0可得b=1，
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及a²-c²=b²=1，得a=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1．
（2）由（1）知，上半椭圆C₁的方程为y²+2x²=2（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，
设其方程为x=my+1 （m≠0），并将其代入C₁的方程，
整理得（2m²+1）y²+4my=0，
故可解得点P的坐标为（$\frac{1-2{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$，$\frac{-4m}{1+2{m}^{2}}$），显然m＜0，
同理，将x=my+1 （m≠0）代入C₂的方程，
整理得m²y²+y+2my=0，
得点Q的坐标为（$\frac{-m-{m}^{2}}{{m}^{2}}$，-$\frac{2m+1}{{m}^{2}}$），
∵AP⊥AQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{-m-{m}^{2}}{{m}^{2}}$+1）（$\frac{1-2{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$+1）-$\frac{2m+1}{{m}^{2}}$•$\frac{-4m}{1+2{m}^{2}}$=0，
即8m²+2m=0，解得m=-$\frac{1}{4}$，符合m＜0，
故直线l的方程为4x+y-4=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆、抛物线的位置关系，注意联立直线方程，求交点，同时考查向量垂直的条件，属于中档题．