Question

19．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$是奇函数．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并加以证明．
（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{e}^{x}}$在（-∞，+∞）上单调递减，利用导数加以证明．
（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，t²-2t＞k-2t²，分离参数，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$是奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=1．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{e}^{x}}$在（-∞，+∞）上单调递减，证明如下：
∵f′（x）=$\frac{-2{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）∵对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t，
∵3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查单调性的证明，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．