Question

已知向量

a

=(sin

x

2

，cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，

3

cos

x

2

)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果△ABC中，f（A）=

3

，且角A所对的边a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合辅助角公式化简可得f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，结合正弦函数的图象与性质，即可得到求f（x）的单调递增区间；
（2）根据（1）的表达式结合f（A）=

3

，算出A=

π

3

，再由余弦定理给出a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4，结合基本不等式算出b+c的最大值，由此不难得到△ABC的周长l的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sin

x

2

，cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，

3

cos

x

2

)，
∴f(x)=

a

•

b

=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

（1+cosx）=sin（x+

π

3

）+

3

2

即f（x）的表达式是y=sin（x+

π

3

）+

3

2

令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z），可得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间是[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，（k∈Z）
（2）∵f（A）=sin（A+

π

3

）+

3

2

=

3

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，结合A为三角形内角可得A=

π

3

根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4
∴（b+c）²-4=3bc≤

3

4

（b+c）²，可得

1

4

（b+c）²≤4，即（b+c）²≤16
当且仅当b=c=2时，b+c的最大值为4
又∵b+c＞a=2，∴b+c∈（2，4]，
由此可得△ABC的周长l的取值范围是（4，6]．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的单调增区间，并依此求解三角形周长的取值范围，着重考查了三角恒等变换、解三角形、三角函数的图象与性质和基本不等式求最值等知识，属于基础题．