Question

20．已知f（x）=2sin（-2x+$\frac{π}{3}$）+4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，求f（x）值域．

Answer 1

分析 （1 ）化简函数的解析式为f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+4，再利用张弦函数的单调性求得它的减区间．
（2）根据x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+4 的值域．

解答 解：（1）f（x）=2sin（-2x+$\frac{π}{3}$）+4=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+4，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函数f（x）的减区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，可得 2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
故f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+4 的值域为[2，4]．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．