Question

18．已知函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数、奇函数的定义，便容易看出a=0时，f（x）为偶函数，a≠0时，f（x）便非奇非偶；
（2）根据题意便有f′（x）=$2x-\frac{a}{{x}^{2}}≥0$在[2，+∞）上恒成立，这样便可得到a≤2x³恒成立，由于2x³为增函数，从而可以得出a≤16，这便可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）①当a=0时，f（x）=x²为偶函数；
②当a≠0时，f（1）=1+a，f（-1）=1-a；
显然f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f′（x）=2x$-\frac{a}{{x}^{2}}$，要使f（x）在[2，+∞）上是增函数；
只需当x≥2时，f′（x）≥0恒成立；
即$2x-\frac{a}{{x}^{2}}≥0$恒成立；
∴a≤2x³；
又x≥2；
∴函数2x³的最小值为16；
∴a≤16；
∴实数a的取值范围为（-∞，16]

点评 考查偶函数、奇函数的定义，在判断f（x）奇偶性时，不要漏了a=0的情况，以及函数单调性和函数导数的关系，清楚函数y=2x³为增函数．