Question

设函数f（x）＝＋ax－lnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）若对任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），无极大值;（Ⅱ）当时，单调递减 ，当时，单调递减，在上单调递增；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的极值,只需对函数求导,求出导数等零点,及在零点两边的单调性,注意, 求函数的极值不要忽略求函数的定义域;（Ⅱ）讨论函数的单调性,只需判断的导数在区间上的符号,因此,此题先求导,在判断符号时,发现参数的取值对有影响,需对参数讨论,分,与两种情况,从而确定单调区间;（Ⅲ）对任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，当时， 令，当时，；当时，，单调递减，在单调递增，，无极大值 ；

（Ⅱ）

，，①当即时，上是减函数，②当，即时，令，得,令，得

综上，当时，单调递减 ，当时，单调递减，在上单调递增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值，， ，

而经整理得 ．

考点：函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与不等式的综合应用，考查学生的基本推理能力，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力.