Question

如图所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方形中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱的底面三角形ABC的边AC=5，
因为AB=3，BC=4，所以，，所以，AB⊥BC，
因为四边形为正方形，，所以，
而，
所以，AB⊥平面．
（Ⅱ）解：因为AB⊥平面，
所以，AB为四棱锥A-BCQP的高，
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以，梯形BCQP的面积为，
所以，四棱锥A-BCQP的体积。