Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【解析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对绝对值不等式的解法的理解，了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．