Question

已知数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，设b_n=a_n+n（n∈N*）．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）的值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数学归纳法及极限的运算．
（1）由数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，设b_n=a_n+n（n∈N*）．我们不难给出数列{b_n}的前若干项，并能由此归纳推理出数列的通项公式，但归纳推理的结论不一定正确，我们可以用数学归纳学进行证明．
（2）由（1）的结论，结合数列求和的裂项法，我们不难对

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）进行化简，进而求出

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）的值．

解答：解：（1）n=1时，由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），得a₁=1．
n=2时，a₂=6代入得a₃=15．同理a₄=28，
再代入b_n=a_n+n，有b₁=2，b₂=8，b₃=18，b₄=32，由此猜想b_n=2n²．
要证b_n=2n²，只需证a_n=2n²-n．
①当n=1时，a₁=2×1²-1=1成立．
②假设当n=k时，a_k=2k²-k成立．
那么当n=k+1时，由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），得a_k+1=

k+1

k-1

（a_k-1）
=

k+1

k-1

（2k²-k-1）=

k+1

k-1

（2k+1）（k-1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）²-（k+1）．
∴当n=k+1时，a_n=2n²-n正确，从而b_n=2n²．
（2）

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+…+

1

bn-2

）
=

lim

n→∞

（

1

6

+

1

16

+…+

1

2n2-2

）
=

1

2

lim

n→∞

[

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-1)(n+1)

]
=

1

4

lim

n→∞

[1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

]
=

1

4

lim

n→∞

[1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

]
=

3

8

．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证．