Question

2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，当x＞2时k（x-2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为5．

Answer 1

分析 k（x-2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x-2）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．

解答 解：因为当x＞2时，不等式k（x-2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x-2）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，
亦即k＜$\frac{xlnx+2x-1}{x-2}$=$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2对任意x＞2恒成立．
设p（x）=$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2，则p′（x）=$\frac{x-2lnx-5}{{（x-2）}^{2}}$，
令r（x）=x-2lnx-5（x＞2），则r′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$＞0，
所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．
因为r（9）=4（1-ln3）＜0，r（10）=5-2ln10＞0，
所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（9，10），
当2＜x＜x₀时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x₀时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）在（2，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
又r（x₀）=x₀-2lnx₀-5=0，所以2lnx₀=x₀-5．
所以[p（x）]_min=p（x₀）=$\frac{{x}_{0}l{nx}_{0}+3}{{x}_{0}-2}$+2=$\frac{{x}_{0}-3}{2}$+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]_min∈（5，6），
故整数k的最大值是5． 
故答案为：5．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．