Question

13．已知直线l：ax+y+b=0与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，M（$\sqrt{3}$，-1），且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}$，则$\sqrt{3}$ab=-4．

Answer 1

分析 由题意，l⊥OM，且圆心O到直线l的距离为$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|\overrightarrow{OM}|$=$\frac{2}{3}$，由此求出a，b，即可得出结论．

解答 解：由题意，l⊥OM，且圆心O到直线l的距离为$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|\overrightarrow{OM}|$=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
由于b＞0，∴a=-$\sqrt{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
∴$\sqrt{3}ab$=-4．
故答案为-4．

点评 本题考查圆的切线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．