Question

15．已知函数f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）．
（1）画出函数f（x）的图象；
（2）若函数g（x）=f（x）+2m有且仅有2个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意和余弦函数的性质化简解析式，由解析式和余弦函数图象画出f（x）的图象；
（2）将函数g（x）的零点问题转化为：函数f（x）的图象和直线y=-2m有且仅有2个交点，由图列出不等式，求出实数m的取值范围即可．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）
=3|cosx|-cosx=$\left\{\begin{array}{l}{2cosx，x∈[0，\frac{π}{2}）∪（\frac{3π}{2}，2π]}\\{-4cosx，x∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]}\end{array}\right.$，
函数f（x）的图象如图所示：
（2）∵函数g（x）=f（x）+2m有且仅有2个零点，
∴函数f（x）的图象和直线y=-2m有且仅有2个交点，
由图得，2≤-m＜4，则-4＜m≤-2，
∴实数m的取值范围是（-4，-2]．

点评 本题考查余弦函数的图象与性质，以及函数零点与函数图象交点之间的关系，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．