Question

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）；
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；
④

∫

2 0

f(x)dx=

π+1

2

．
其中判断正确的序号是（　　）

A．①③

B．①④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答：解：当-2≤x≤-1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的

1

4

圆，
当-1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为

2

的

1

4

圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的

1

4

圆，
当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的

1

4

圆，∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．
②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②错误．
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．
④根据积分的几何意义可知

∫

2 0

f(x)dx=

1

8

×π(

2

)2+

1

2

×1×1+

1

4

π×12=

π

4

+

π

4

+

1

2

=

π

2

+

1

2

，
∴④正确．
故答案为：①④，
故选：B．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．