Question

如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．   

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），证得．又因为 平面推出，             

又，所以 平面．

（2）点位于点处，此时；或中点处，此时.

【解析】

试题分析：（1）【方法一】证明：由俯视图可得，，所以 ． 2分

又因为 平面，所以 ，              4分

又，所以 平面．               6分

（1）【方法二】证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系． 在△中，易得，所以 ，

因为 ， 所以， ．由俯视图和左视图可得：

．

所以 ，．

因为 ，所以．               3分

又因为 平面，所以 ，又  

所以 平面．                                               6分

（2）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．

证明如下：设 ，其中．                                 7分

所以 ，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ，        9分

所以 ，解得或，均适合．         11分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，        12分

考点：三视图，立体几何中的垂直关系、距离的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题将三视图与证明、计算问题综合考查，凸显三视图的基础地位，必须正确还原几何体。