Question

已知f(x)是定义在正整数集N^*上的函数，当x为奇数时f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时f(x＋1)－f(x)＝－3，且f(1)＋f(2)＝3．

(1)求证：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2_n－1)(n∈N^*)成等差数列；

(2)求f(n)的解析式；

(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 003)的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意f(2m)－f(2m－1)＝1，f(2m＋1)－f(2m)＝－3，相加得f(2m＋1)－f(2m－1)＝－2(m∈N*)，则f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2m－1)(n∈N*)成等差数列，公差为－2． 　　(2)同理，f(2m＋2)－f(2m＋1)＝1，f(2m＋1)－f(2m)＝－3，相加得f(2m＋2)－f(2m)＝－2(m∈N*)，则f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2m)(n∈N*)成等差数列，公差为－2．f(2)－f(1)＝1，又f(1)＋f(2)＝3，所以f(1)＝1，f(2)＝2，当n为奇数时，n＝2m－1，f(n)＝f(2m－1)＝f(1)＋(m－1)(－2)＝－n＋2；当n为偶数时，n＝2m，f(n)＝f(2m)＝f(2)＋(m－1)(－2)＝－n＋4．所以f(n)＝ 　　(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2003)＝[f(1)＋f(3)＋f(5)＋f(7)＋…＋f(2003)]＋[f(2)＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋…＋f(2002)]＝1002×f(1)＋×(－2)＋1001×f(2)＋×(－2)＝－1002000－1001000＝－2003000．

提示：

本题结构层层递进，(1)揭示数列{f(n)}每隔一项构成等差数列，从而可求出(2)中{f(n)}的通项公式，再求(3)中数列{f(n)}前2003项的和(转化为两个数列的和)．