Question

已知函数f(x)=

px-p

-lnx(p＞0)是增函数．
（I）求实数p的取值范围；
（II）设数列{a_n}的通项公式为an=

2n+1

n

，前n项和为S，求证：S_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

分析：（I）求得函数的定义域，利用函数为增函数，可得导数大于0，再换元，利用分离参数法，求函数的最值，即可求得实数p的取值范围；
（II）先证明

x-1

≥lnx，对x≥1恒成立，从而可得an≥ln

(n+1)2

n2

，再利用对数的运算性质，即可证得结论．

解答：（I）解：由题意，

px-p≥0 x＞0 p＞0

，∴x≥1，∴函数f（x）的定义域为[1，+∞），
由函数f（x）是增函数，可知f′(x)=

p

2 x-1

-

1

x

≥0对x＞1恒成立，…（3分）   
令t=

x-1

，t＞0，则

p

≥(

2t

t2+1

)max，注意到t²+1≥2t＞0，所以(

2t

t2+1

)max=1，即

p

≥1，
所以p≥1为所求．…（6分）  
（II）证明：由（I）知，f(x)=

x-1

-lnx是增函数，
所以f（x）≥f（1）=0，即

x-1

≥lnx，对x≥1恒成立．…（8分）
注意到an=

2n+1

n

=

(n+1)2 n2 -1

，所以an≥ln

(n+1)2

n2

．…（10分）
∴

Sn=a1+a2+…+an≥ln 22 12 +ln 32 22 +…+ln (n+1)2 n2

=

ln[ 22 12 •ln 32 22 •…•ln (n+1)2 n2

=ln（n+1）²=2ln（n+1）
即S_n≥2ln（n+1）成立…（12分）

点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查利用分离参数法求参数的范围，考查学生的计算能力，属于中档题．