Question

10．设a＞0且a≠1，命题p：函数f（x）=log_a（1+x）为增函数，命题Q：不等式x²+ax+2＜0有解，若P∧Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题P、Q为真命题时a的取值范围，再求出P∧Q为真命题时a的取值范围，从而求出P∧Q为假命题时a的取值范围．

解答 解：命题P中，函数f（x）=log_a（1+x）为增函数时，a＞1，
即P为真命题时，a＞1； （3分）
命题Q中，不等式x²+ax+2＜0有解，△=a²-8＞0，且a＞0，
解得a＞2$\sqrt{2}$，
即Q为真命题时a＞2$\sqrt{2}$； （6分）
所以，P∧Q为真命题时，a的取值范围是a＞2$\sqrt{2}$；（8分）
P∧Q为假命题时，a的取值范围是0＜a≤2$\sqrt{2}$． （10分）

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，考查了复合命题真假的判断问题，是综合题目．