Question

已知A、B两点的坐标分别为A（-1，0）、B（1，0），动点M满足MA+MB=2

2

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若点C在（1）中的轨迹上，且满足△ABC为直角三角形，求点C的坐标；
（3）设经过B点的直线l与（1）中的轨迹交于P、Q两点，问是否存在这样的直线l使得△APQ为正三角形，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得到M点的轨迹为椭圆，求出b后直接写出轨迹方程；
（2）分A，B为直角顶点或C为直角顶点分别求C的坐标，当C为直角顶点时，利用点在椭圆上及直角三角形斜边的中线性质列式求解；
（3）利用△PAQ为正三角形求出|AP|，设出P点坐标后借助于焦半径公式可求P的坐标，从而得到直线l的方程．

解答：解：（1）∵|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|
∴M点的轨迹是以A、B为焦点，长轴为2

2

的椭圆，
由a=

2

，c=1，得b=1，
∴动点M的轨迹方程为

x2

2

+y2=1；
（2）①以A、B为直角顶点时，点C的坐标为：(±1，

2

2

)．
②以C为直角顶点时，设点C的坐标为（x₀，y₀），根据直角三角形的性质知：
|OC|=

1

2

|AB|=c=1，即：

x02+y02=1 x02 2 +y02=1

，解之得：

x0=0 y0=-1

或

x0=0 y0=1

．
∴C（0，-1）或（0，1）；
（3）因为△PAQ为正三角形，所以|AP|+|AQ|+|PQ|=3|AP|=4a=4

2

∴|AP|=

4 2

3

．
设点P的坐标为（x₁，y₁），轴椭圆的第二定义知：a+ex1=|AP|=

4 2

3

，即

2

+

2

2

x1=

4 2

3

所以：x1=

2

3

，y1=±

7

3

，
所以PQ的直线方程为：y=±

7

(x-1)．

点评：本题考查了椭圆的方程，考查了直线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了椭圆焦半径公式的用法，考查了学生的计算能力，是难题．