长度为(>0)的线段AB的两个端点A、B分别在轴和y轴上滑动,点P在线段AB上,且满足(A为常数,且).
(1)求点P的轨迹方程C;
(2)当时,过点M(1,0)作两条互相垂直的直线和,和分别与曲线C相交于点N和Q(N、Q都异于点M),试问△MNQ能不能是等腰三角形?若能,请说明这样的三角形有几个;若不能,请说明理由.
解:(1)依题意,设点A、B的坐标分别为(,0)、(0,),点P的坐标为().
由,得)
=().
∴ 即
∵|AB|=,∴.
∴,
∴点P的轨迹方程C是.
(2)当时,曲线C的方程是,故点M(1,0)在曲线C上.
依题意,可知直线和都不可能与坐标轴平行,可设直线方程为,
直线方程为,不妨设.
由消去y得
.
由,又,得,
∴
=
=.
同理可得
=.
假设△MNQ是等腰三角形,则|MN|=|MQ|,
即,
化简得,
∴或 ①
①式的判别式△=,
若△=,解得,此时①式无解;
若△==0,解得,由①式得=1;
若△=>0,解得,由①式得
(可以验证≠1且>0).
综上所述,△MNQ可以是等腰三角形,当0<≤时,这样的三角形有一个;
当时,这样的三角形有三个.
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(2010湖北理数)15.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数。如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD,AD,BD。过点C作OD的垂线,垂足为E。则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数。
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科目:高中数学 来源:2014届山西省高三9月月考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
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科目:高中数学 来源:2014届安徽省高二上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知两条直线 ::y=m 和:y=(m>0),直线与函数的图像从左至右相交于点A,B , 直线与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b .当m 变化时,的最小值为 .
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年甘肃省河西五市高三第二次联合考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若把函数的图象向右平移(>0)个单位长度,使点为其对称中心,则的最小值是
A. B. C. D.
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