Question

14、已知a，b∈R，且a²+ab+b²=3，设a²-ab+b²的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=

10

．

Answer 1

分析：令t=a²-ab+b²，由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，结合基本不等式的性质，进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，解可得ab的范围，又由a²+b²=3-ab，则t可变形为3-2ab，由ab的范围，可得M、m的值，代入可得答案．

解答：解：令t=a²-ab+b²，
由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，
由基本不等式的性质，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，
进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，
解可得，-3≤ab≤1，
t=a²-ab+b²=3-ab-ab=3-2ab，
故1≤t≤9，
则M=9，m=1，
M+m=10，
故答案为10．

点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．